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Histoire des nombres complexes

26 juin 2024Mathématiqueshistoire des mathématiquesCoin des Maths

Les nombres complexes sont apparus afins de résoudre certains problèmes. Dans cet article, nous allons voir en détail l’histoire de leur apparition.

Premiers ensembles de nombres

Le premier ensemble de nombres découvert est l’ensemble $\mathbb N$ des entiers naturels, celui qui nous sert à compter. Or, cet ensemble ne permet pas de résoudre tous les problèmes qu’il nous permet d’écrire. En effet l’équation $2x + 4 = 0$ n’admet pas de solution dans $\mathbb N$ .

Il a donc fallu créer un ensemble plus grand, permettant de résoudre l’équation précédente, mais contenant l’ensemble $\mathbb N$ . Cet ensemble est l’ensemble des entiers relatifs $\mathbb Z$ , qui ajoute les entiers négatifs.

Cependant, on peut toujours trouver des équations dont les solutions ne sont pas dans $\mathbb Z$ . Par exemple l’équation $2x + 1 = 0$ n’admet pas de solution dans $\mathbb Z$ . Par un procédé analogue, on a ainsi créé les ensembles $\mathbb D$ , $\mathbb Q$ puis $\mathbb R$ .

Résolution des équations du troisième degré

Au XVI^e siècle, le problème de la résolution des équations du troisième degré passionne un bon nombre de mathématiciens italiens.

Scipione Del Ferro (1465-1526) est le premier à trouver une méthode pour résoudre certaines de ces équations, mais la garde secrète. À sa mort, en 1526, son élève Anto Maria Del Fiore parvient à récupérer cette méthode. Lui aussi la garde secrète, mais décide de défier les autres mathématiciens sur la résolution de ces équations.

En 1535, Tartaglia (1499-1557) relève le défi, et s’engage dans un duel. Chacun déposa une liste de 30 problèmes chez un notaire ainsi qu’une somme d’argent. Celui qui, dans les 40 jours, aurait résolu le plus de problèmes serait désigné vainqueur et remporterait la somme.

Juste avant la date limite, Tartaglia trouve la résolution générale de ce type d’équations, et les résout toutes en quelques heures. Il remporte alors le concours mais refuse le prix. Trop heureux de sa méthode, il décide de ne pas la divulguer afin de gagner facilement d’autres concours.

Le mathématicien renommé Jérôme Cardan (1501-1576) entend parler de la réussite de Tartaglia et, après plusieurs entretiens, réussit à lui arracher sa méthode. Cardan promet de ne jamais la divulguer. Il la publie sous son nom dans son ouvrage Ars Magna un an plus tard, ayant appris entre temps que cette méthode avait été découverte par Del Ferro avant Tartaglia.

Pour l’équation $x^3 + px = q$ , la méthode trouvée par Cardan donne la solution suivante :

Cette formule est depuis lors appelée formule de Cardan.

Un premier exemple

On considère l’équation $x^3 - 3x = 2$ . Nous pouvons appliquer la formule de Cardan avec $p=-3$ et $q=2$ car :

Voici ce que l’on obtient :

Ainsi, $x_0 = 2$ est solution de l’équation. En effet, $2^3 - 3 \times 2 = 8 - 6 = 2$ .

Limites de cette formule

Considèrons maintenant l’équation $x^3 - 15x = 4$ . Celle-ci revient à prendre $p = -15$ et $q = 4$ . Voici ce qu’on obtient :

Cette valeur de $\Delta$ ne nous permet pas d’appliquer la formule de Cardan, puisqu’il faudrait calculer la racine carrée d’un nombre négatif.

Vers la notation $i$ et les nombres complexes

Au lieu de se démener, Cardan, bientôt suivi de Raphaël Bombelli (1526-1572), introduit un nombre imaginaire dont le carré vaut -1, et le note $\sqrt{-1}$ , afin de pallier ce problème.

Une première notation et calculs intermédiaires

Avant de continuer, nous allons faire deux calculs dont nous auront besoin pour la suite.

En admettant comme eux que $\left( \sqrt{-1} \right)^2 = -1$ , et en utilisant les règles habituelles d’addition et de multiplication ainsi que le binôme de Newton, on peut obtenir les résultats suivants :

Retour à notre deuxième exemple

Reprenons l’équation $x^3 - 15x = 4$ . Essayons d’appliquer la formule de Cardan :

On retrouve ainsi sous les racines cubiques les membres de droites de nos calculs intermédiaires. Nous n’avons plus qu’à les utiliser :

Finalement, les nombres imaginaires que nous avons introduits s’annulent, ne laissant que $x_0 = 4$ comme solution. En effet, $4^3 - 15 \times 4 = 64 - 60 = 4$ .

Le nombre complexe $i$

En 1774, Leonhard Euler (1707-1783) constate que cette notation $\sqrt{-1}$ contredit la règle de calcul $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b}$ . En effet, voici le type de calcul que l’on pourrait faire avec cette notation :

Bien sûr, cette contradiction rend l’utilisation de cette notation peu pratique. Euler propose alors de remplacer la notation $\sqrt{-1}$ par la notation $i$ . On a donc $i^2 = -1$ . La notation $\sqrt{-1}$ sera ensuite abandonnée par souci de clarté.

Portrait de Carl Friedrich Gauss, mathématicien et physicien allemand du XIXe siècle. — Portrait de Carl Friedrich Gauss

Nombres complexes

Le nombre $i$ permet d’écrire des nombres de la forme $a + ib$ , avec $a$ et $b$ des réels, comme $2 + 2i$ par exemple. Ces nombres étant composés de deux parties, ils seront appelés des nombres complexes par Carl Friedrich Gauss (1777-1855) en 1831.

Ainsi, nous avons pu voir que les nombres complexes permettent de trouver des solutions réelles à certaines équations. Cependant, elle permet également de résoudre des équations sans solution réelle. Ainsi, l’équation $x^2 + 1 = 0$ n’a pas de solution réelle, mais a deux solutions complexes : $i$ et $-i$ .

Planche de Galton

22 mai 2024Mathématiquesanimation, probabilitésCoin des Maths

Présentation générale

Francis Galton (1822-1911), issu d’une famille de scientifiques et cousin de Charles Darwin, s’est intéressé à l’hérédité des capacités intellectuelles pour améliorer l’espèce humaine. Son expertise couvrait la géographie, la météorologie et l’anthropologie en plus de ses contributions pionnières aux statistiques à des fins pratiques.

La planche de Galton, aussi appelée « Quincunx » ou « machine de Galton », est un dispositif conçu par Francis Galton. Elle comporte une série de clous disposés en quinconce, au travers desquels tombent des billes déviant aléatoirement à gauche ou à droite. En bas, les billes s’accumulent dans des compartiments.

Chaque compartiment a-t-il la même chance de recevoir la bille ?

Essayons de calculer la probabilité qu’un compartiment donné reçoive une bille. Supposons que la planche de Galton présente $n$ rangées de clous.

Chaque fois qu’une bille tape un clou, elle a une chance sur deux de tomber à sa gauche et une chance sur deux de tomber à sa droite. Ainsi, chaque changement de direction a autant de chance de se produire, et toutes les trajectoires possibles sont équiprobables. La probabilité que la bille finisse sa course dans un compartiment donné est donc :

Il nous faut donc dénombrer le nombre de trajectoire au total ainsi que le nombre de trajectoires allant dans un compartiment spécifique.

Calcul du dénominateur

Commençons par le dénominateur. Chaque clou crée une bifurcation dans la trajectoire de la bille. Cela permet alors de doubler le nombre de trajectoires possibles. Il y en a donc 2 après la première rangée de clous, 4 après la seconde, puis 8, puis 16… Après $n$ rangées, il y en a donc $2^n$ trajectoires possibles au total.

Calcul du numérateur

Passons au numérateur. On cherche maintenant à compter le nombre de chemins permettant à une bille d’aller dans un compartiment donné. Cela revient en réalité à compter le nombre de fois que cette bille doit rebondir à la droite d’un clou. En effet, cela peut être mis en avant grâce au schéma ci-contre.

À chaque fois qu’une bille tombe à la droite d’un clou, elle franchit l’une des lignes en pointillés bleus sans pouvoir revenir en arrière. Cela permet ainsi de compter le nombre de fois qu’elle rebondit à droite. Par exemple, pour aller dans le compartiment n°2, elle doit aller 2 fois à droite.

Ainsi, pour atteindre la $k$ -ième compartiment en partant de la gauche, la bille doit rebondir $k$ fois à droite parmi les $n$ rebonds au total. Or, c’est exactement la définition des coefficients binomiaux $\binom{n}{k}$ . Il y a donc $\binom{n}{k}$ chemins permettant à une bille de se retrouver dans le $k$ -ième compartiment après $n$ rangées de clous.

Conclusion

Finalement, la probabilité que la bille finisse sa course dans le $k$ -ième compartiment après $n$ rangées de clous est :

Voici les différentes valeurs de $p$ que l’on obtient pour $n$ allant de 0 à 5 et pour toutes les valeurs de $k$ correspondantes :

$n=0:$						$1$
$n=1:$					$\frac{1}{2}$		$\frac{1}{2}$
$n=2:$				$\frac{1}{4}$		$\frac{1}{2}$		$\frac{1}{4}$
$n=3:$			$\frac{1}{8}$		$\frac{3}{8}$		$\frac{3}{8}$		$\frac{1}{8}$
$n=4:$		$\frac{1}{16}$		$\frac{1}{4}$		$\frac{3}{8}$		$\frac{1}{4}$		$\frac{1}{16}$
$n=5:$	$\frac{1}{32}$		$\frac{5}{32}$		$\frac{5}{16}$		$\frac{5}{16}$		$\frac{5}{32}$		$\frac{1}{32}$

Valeurs de $p$ pour $n$ allant de 0 à 5

Animation

Ci-dessous une animation de la planche de Galton réalisée avec Desmos. Le curseur permet de contrôler la vitesse de l’animation. Une version plus complète est disponible ici.

Grille tournante de Fleissner

17 avril 2024Informatique, MathématiquesCryptographie, Escape GameCoin des Maths

Histoire de la grille de Fleissner

La méthode des grilles tournantes, popularisée par le colonel autrichien Fleissner dans son ouvrage « Handbuch der Kryptographie », a marqué l’histoire de la cryptographie. L’armée allemande a largement utilisé cette méthode pendant la Première Guerre mondiale, à partir de la fin de l’année 1916. Chaque grille avait un nom de code spécifique : « Anna » pour la grille $5 \times 5$ , « Berta » pour la grille $6 \times 6$ , « Clara » pour la grille $7 \times 7$ , « Dora » pour la grille $8 \times 8$ , « Emil » pour la grille $9 \times 9$ et « Franz » pour la grille $10 \times 10$ .

L’attribution de l’invention de cette méthode à Fleissner reste sujette à débat. Bien que des techniques de chiffrement par grille existent depuis longtemps, le nom de Fleissner est étroitement associé à cette méthode, en partie grâce à Jules Verne. En effet, dans son roman « Mathias Sandorf » publié en 1885, Verne fait référence à cette technique de cryptographie et l’attribue à Fleissner, contribuant ainsi à consolider son lien avec cette méthode dans l’imaginaire collectif.

Fonctionnement de la grille de Fleissner

Codage

Pour coder un message à l’aide d’une grille Fleissner, on commence par inscrire les lettres dans les espaces vides de la grille. Une fois la grille remplie, on la fait pivoter d’un quart de tour vers la droite, puis on continue à remplir les cases vides avec les lettres du message. On répète ensuite ce processus jusqu’à remplir toutes les 36 cases de la grille.

Cependant, si le message est plus court que le nombre total de cases à remplir, on complète avec des lettres quelconques pour remplir la grille.

Codons par exemple le message suivant : « Le coffre est enterré au pied d’un arbre ». Les deux premières étapes donnent :

Les deux étapes suivantes donnent :

Finalement, le message codé se présente sous la forme du tableau de lettres suivant :

Décodage

Pour décoder un message codé grâce à une grille de Fleissner, il suffit de réaliser l’opération inverse. En tournant la grille d’un quart de tour, nous pouvons noter les lettres qui apparaissent sur une feuille blanche.

Bien évidemment, il est nécessaire d’avoir la grille ayant servi au codage pour pouvoir décoder le message. Des méthodes pour retrouver la grille existent (comme ici), mais peuvent ne pas s’avérer concluantes.

Création d’une grille de Fleissner

Pour créer une grille de Fleissner, il faut choisir quels trous percer. Nous allons nous limiter dans un premier temps aux grilles de taille 6 pour simplifier le raisonnement.

Sur une grille de Fleissner, un même trou montrera 4 lettres différentes au fur et à mesure des rotations. Ainsi, si la case du coin supérieur gauche de la grille est trouée, elle dévoilera les lettres placées aux quatre coins. De la même manière, toutes les cases du coin supérieur gauche dévoileront en tout quatre lettres. Chaque lettre étant dans un quart différent de la grille.

Nous pouvons donc numéroter comme ci-dessous chaque case de la grille avec un numéro allant de 1 à 9. Deux cases auront le même numéro si elles sont dévoilées par le même trou. Pour créer une grille de Fleissner, il faut donc trouer chaque numéro de 1 à 9 une seule fois.

Cette numérotation des cases permet également de facilement calculer le nombre de grilles distinctes possibles. En effet, chacun des 9 trous peut prendre 4 positions différentes. Il y a $4^9$ grille de taille 6 possibles.

On peut même pousser ce même raisonnement pour créer des grilles de taille $2n$ ainsi que pour montrer qu’il en existe $4^{n^2}$ .

Inégalité de Cauchy-Schwarz – DSM#10

13 décembre 2023Mathématiques, Vidéosanimation, démo sans mots, youtubeCoin des Maths

La vidéo : Inégalité de Cauchy-Schwarz

Dans cet article de « Démo sans mots« , une célèbre inégalité : l’inégalité de Cauchy-Schwarz.

Cette démonstration provient du livre Proof without words III de Roger B. Nelsen, à la page 98.

Plus de précision

Aire du parallélogramme

Dans cette vidéo, j’ai calculé l’aire du parallélogramme en utilisant une formule peu courante. Je vais détailler ci-dessous d’où elle vient.

On retient habituellement que l’aire d’un parallélogramme se calcule en multipliant sa base et sa hauteur. Dans la figure ci-dessous, on trouve alors $AB \times DH$ .

Or, en utilisant les relations CAH-SOH-TOA dans le triangle rectangle $HDA$ , on a que $DH = AD \times \sin\theta$ . L’aire du parallélogramme $ABCD$ est donc :

On peut alors calculer l’aire du parallélogramme de la vidéo, sans oublier le théorème de Pythagore pour calculer les longueurs de ses côtés.

Avec des vecteurs

Pour rappel, la vidéo démontre l’inégalité suivante :

Cependant, elle se termine en mettant en avant une autre inégalité :

En effet, si on note $\left\langle u,v \right\rangle$ le produit scalaire des vecteurs $u$ et $v$ et $\left\lVert u \right\rVert$ la norme induite d’un vecteur $u$ , leurs expressions utilisant les coordonnées des vecteurs nous redonnent la première inégalité. L’inégalité de Cauchy-Schwarz s’exprime ainsi plus simplement :

Le produit scalaire de deux vecteurs est inférieur au produit de leurs normes. C’est surtout sous cette forme que l’inégalité de Cauchy-Schwarz est connue.

Pour aller plus loin, je rajouterai que cette propriété est assez générale puisqu’elle est vraie dans les espaces préhilbertiens réels (et complexes). En particulier, elle est vraie dans $\mathbb{R}^n$ , quelle que soit la dimension $n$ . La vidéo montre le cas de $\mathbb{R}^2$ .

Une démonstration classique mais élégante

La démonstration que je vais vous présenter maintenant est la démonstration classique de l’inégalité de Cauchy-Schwarz. Cependant, je trouve cette démonstration assez élégante, c’est pourquoi j’en parle aujourd’hui.

Pour rappel, nous allons montrer que pour deux vecteurs $u$ et $v$ , on a :

Pour cette démonstration, il faut considérer la fonction suivante :

Par définition, cette fonction $f$ est positive. De plus, si nous développons la norme, on a :

Si $v = 0$ , l’inégalité de Cauchy-Schwarz est vraie pour tout vecteur $u$ .

Dans le cas contraire, si $v \neq 0$ , la fonction $f$ est un polynôme de degré 2. De plus, comme cette fonction est positive, son discriminant $\Delta$ est négatif. Alors :

Notons également que cette inégalité est une égalité si, et seulement si, $\Delta = 0$ . Cela est équivalent à l’existence de $\lambda \in \mathbb{R}$ tel que $f(\lambda)=\left\lVert u + \lambda v \right\rVert^2=0$ , donc à la colinéarité des vecteurs $u$ et $v$ .

Application géométrique

Considérons un triangle $ABC$ , ainsi qu’un point $M$ à l’intérieur de ce triangle. Notons $P$ , $Q$ et $R$ les projetés orthogonaux de $M$ sur $AB$ , $BC$ et $CA$ respectivement.

Question : Où placer le point $M$ pour que la quantité $\frac{AB}{PM} + \frac{BC}{QM} + \frac{CA}{RM}$ soit minimale ?

En utilisant les notations de la figure, cela signifie que l’on veut minimiser $\frac{a}{x} + \frac{b}{y} + \frac{c}{z}$ . Or, on peut écrire :

Grâce à cette forme, et en utilisant l’inégalité Cauchy-Schwarz, on a :

On reconnait l’expression à minimiser dans le membre de droite. Notons $\mathcal{P}$ le périmètre du triangle $ABC$ et $\mathcal{A}$ son aire. On a directement que $\mathcal{P} = a + b + c$ , que l’on retrouve dans le membre de gauche.

Calculons maintenant l’aire $\mathcal{A}$ de ce triangle. Pour cela, nous allons le découper en trois triangles grâce au point $M$ , comme représenté ci-dessus. Ainsi, l’aire de $ABC$ est égale à la somme de celles des triangles $AMB$ , $BMC$ , $CMA$ .

On trouve ainsi que $ax + by + cz = 2 \mathcal{A}$ . Finalement, en utilisant les expressons de $\mathcal{P}$ et $\mathcal{A}$ que nous venons d’établir, on a :

Nous voilà donc avec une minoration de la quantité $\frac{a}{x} + \frac{b}{y} + \frac{c}{z}$ . Mais n’oublions le cas d’égalité de l’inégalité de Cauchy-Schwarz : cette inégalité est une égalité si, et seulement si, les vecteurs $\left( \sqrt{\frac{a}{x}}, \sqrt{\frac{b}{y}}, \sqrt{\frac{c}{z}} \right)$ et $\left( \sqrt{ax}, \sqrt{by}, \sqrt{cz} \right)$ sont colinéaires. Cela est équivalent à l’existence d’un $\lambda \in \mathbb{R}$ tel que :

On a ainsi l’égalité si, et seulement si, $x=y=z$ . Autrement dit, la quantité $\frac{a}{x} + \frac{b}{y} + \frac{c}{z}$ est minimale lorsque le point $M$ est à la même distance des trois côtés du triangle, c’est-à-dire lorsque $M$ est le centre du cercle inscrit au triangle $ABC$ .

Identités remarquables – DSM#9

29 novembre 2023Mathématiques, Vidéosanimation, démo sans mots, youtubeCoin des Maths

La vidéo : Identités remarquables

Cette fois dans « Démo sans mots« , un incontournable pour tous les collégiens et lycéens : les identités remarquables.

La démonstration de la première identité remarquable provient des Éléments d’Euclide (Livre II, Proposition 4). Je n’ai pas trouvé d’origine pour les deux autres

Démonstrations algébriques

L’égalité $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ était en réalité déjà connue par les Babyloniens. Euclide la démontre dans le livre II de ses Éléments et la formule ainsi :

Si un segment de droite est divisé en deux parties, le carré du segment entier est égal aux carrés des deux parties plus deux fois le rectangle contenu par les deux parties.
Euclide, Les Éléments, Livre II, Proposition 4

Je vous l’assure, il s’agit bien de la même chose. Rappelons qu’à cette époque, le raisonnement reposait avant tout sur l’utilisation de représentations géométriques, même pour les calculs.

Même si aujourd’hui ces démonstrations utilisant la géométrie sont toujours parfaitement correctes, nous avons plutôt tendance à passer par le calcul. C’est peut-être comme ça que vous les avez découvertes la première fois, et c’est également ce que nous allons voir ci-dessous.

À l’instar de la démonstration d’Euclide, nous avons besoin de savoir développer. Si dans les Éléments, on trouve la démonstration de trois premières égalités (dans l’ordre

toujours d’un point de vue géométrique), nous allons développer selon l’égalité suivante :

Allons-y ! Lançons-nous dans les calculs !

Et de une…

… et de deux…

… et de trois !

Nous avons donc bien retrouvé nos trois identités remarquables.

Compléter le carré

Bagdad, début du IX^e siècle. Le Calife abbasside Al-Ma’mūn sollicite Al-Khwarizmi, savant renommé, afin de créer une synthèse des méthodes mathématiques nécessaires pour administrer son vaste empire.

Extrait du manuscrit original du “Al-Jabr” d’Al-Kwarizmi — Extrait du manuscrit original du « Al-Jabr » d’Al-Kwarizmi

Timbre spécial de 4 kopecks de l'ex-Union soviétique du 6 septembre 1989 pour le 1200e anniversaire d'Abu Abdullah Muhammad bin Musa al-Khwarizmi. А. Адашев, Public domain, via Wikimedia Commons — Timbre soviétique à l’effigie de Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī

L’un des problèmes résolus par Al-Khwarizmi est le suivant :

Un bien et dix de ses racines égalent trente-neuf dirhams.
Al-Kwarizmi, Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison

Ce qui donne avec le symbolisme d’aujourd’hui : $x^2 + 10x = 39$ .

La méthode de résolution, telle qu’elle a été écrite par Al-Khwarizmi, est la suivante :

Son procédé de résolution consiste à diviser les racines par deux, et c’est cinq dans ce problème. Tu le multiplies par lui-même et ce sera vingt-cinq. Tu l’ajoutes à trente-neuf. Cela donnera soixante-quatre. Tu prends alors sa racine carrée qui est huit et tu en retranches la moitié du nombre des racines et c’est cinq. Il reste trois et c’est la racine du bien que tu cherches et le bien est neuf.
Al-Kwarizmi, Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison

Cette méthodologie peut sembler obscure, mais le raisonnement est géométrique, comme nous allons le voir.

En effet, si le terme $x^2$ se représente par un carré de côté $x$ , le terme $10x$ se représentent par deux rectangles de longueur $5$ et $x$ collés au carré, comme représenté ci-dessous :

L’aire colorée est donc égale à $x^2 + 10x$ , comme le premier membre de l’équation. L’idée est de compléter le carré, afin de calculer facilement la racine.

On se retrouve ainsi avec un carré de côté $x+5$ , dont l’aire est égale à $64$ , soit $8^2$ . Al-Khwarizmi en déduit alors que $x+5=8$ , donc que $x=3$ . Et en effet, $x=3$ est bien solution de cette équation, puisque $3^2 + 10 \times 3 = 9 + 30 = 39$ .

N’oublions pas qu’aujourd’hui il faudrait rajouter une autre solution : $x=-13$ . Cela vient du fait que $(-8)^2$ vaut également $64$ . Mais à l’époque d’Al-Khwarizmi comme celle d’Euclide, les raisonnements étant géométrique, et les nombres étant des longueurs, les nombres négatifs étaient inenvisageables.

Inégalité arithmético-géométrique – DSM#8

15 novembre 2023Mathématiques, Vidéosanimation, démo sans mots, youtubeCoin des Maths

La vidéo : Inégalité arithmético-géométrique

Aujourd’hui dans « Démo sans mots« , nous allons nous intéresser à une inégalité bien pratique : l’inégalité arithmético-géométrique.

Cette démonstration provient du livre Proof without words de Roger B. Nelsen, à la page 51.

Y a moyen de moyenner

Dans la vie courante, quand on pense à calculer une moyenne, on pense souvent à ce qu’on appelle la moyenne arithmétique. C’est par exemple le cas dans l’éducation pour les moyennes trimestrielles. En réalité, il existe d’autres façons de calculer une moyenne, et c’est l’objet de cette section.

Moyenne arithmétique

C’est la moyenne la plus connue. Celle qu’on a l’habitude d’utiliser. La moyenne arithmétique des nombres $a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{R}$ est donnée par :

Exemple : La moyenne arithmétique de 3, 8 et 10 est : $\dfrac{3 + 8 + 10}{3} = 7$ .

Moyenne géométrique

Si la moyenne arithmétique consiste à additionner $n$ nombres puis à diviser leur somme par $n$ , la moyenne géométrique revient quant à elle à multiplier $n$ nombres puis à prendre la racine $n$ -ième du produit. La moyenne géométrique des nombres $a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{R}^+$ est donnée par :

Exemple : La moyenne géométrique de 3, 8 et 10 est : $\sqrt[3]{3 \times 8 \times 10} \approx 6,21$ .

Moyenne harmonique

Calculons maintenant la moyenne des inverses de $n$ nombres, puis prenons son inverse. C’est comme ça qu’on obtient la moyenne harmonique. La moyenne harmonique des nombres $a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{R}^{+*}$ est donnée par :

Exemple : La moyenne harmonique de 3, 8 et 10 est : $\dfrac{3}{\frac{1}{3} + \frac{1}{8} + \frac{1}{10}} \approx 5,37$ .

Moyenne quadratique

À la manière de la moyenne harmonique, calculons la moyenne des carrés de $n$ nombres, puis prenons sa racine carrée. Nous obtenons alors la moyenne quadratique de ces nombres. La moyenne quadratique des nombres $a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{R}^+$ est donnée par :

Exemple : La moyenne quadratique de 3, 8 et 10 est : $\sqrt{\dfrac{3^2 + 8^2+ 10^2}{3}} \approx 7,59$ .

Remarque

Au fur et à mesure de nos exemples, nous avons pu observer les inégalités suivantes :

En réalité, ces inégalités sont vraies peu importe les nombres dont on calcule ces moyennes. C’est en effet ce que la vidéo démontre pour les moyennes arithmétiques et géométriques de deux nombres.

De plus, toutes ces inégalités sont des égalités lorsque tous les nombres sont égaux.

Moyenne d’ordre p

Pour aller plus loin, je vais vous présenter la moyenne d’ordre $p \in \mathbb{R}$ des nombres $a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{R}$ :

Toutes les moyennes que nous avons vues précédemment peuvent s’écrire sous cette forme, ou comme limite de moyenne de cette forme.

M_{-\infty} (a_1, \ldots, a_n) = \min(a_1, \ldots, a_n)

Valeur de p	Nom	Expression
$p \to -\infty$	Minimum	$M_{-\infty} (a_1, \ldots, a_n) = \min(a_1, \ldots, a_n)$
$p = -1$	Moyenne harmonique	$M_{-1} (a_1, \ldots, a_n) = \dfrac{n}{\frac{1}{a_1} + \ldots + \frac{1}{a_n}}$
$p \to 0$	Moyenne géométrique	$M_0 (a_1, \ldots, a_n) = \sqrt[n]{a_1 \times \ldots \times a_n}$
$p = 1$	Moyenne arithmétique	$M_1 (a_1, \ldots, a_n) = \dfrac{a_1 + \ldots + a_n}{n}$
$p = 2$	Moyenne quadratique	$M_2 (a_1, \ldots, a_n) = \sqrt{\dfrac{a_1^2 + \ldots + a_n^2}{n}}$
$p \to +\infty$	Maximum	$M_\infty (a_1, \ldots, a_n) = \max(a_1, \ldots, a_n)$

On peut remarquer que ces moyennes se retrouvent dans le même ordre que dans l’inégalité.

Le plus grand enclos

Les inégalités que nous venons de voir peuvent être très utiles pour des problèmes d’optimisation. L’inégalité arithmético-géométrique nous sera par exemple utilise pour résoudre le problème suivant :

Problème : Un berger vient d’acheter 400m de clôture. Avec cette clôture, il veut créer un enclos rectangulaire. Cependant, il veut aussi que cet enclos soit le plus grand possible pour ses moutons. Quelle forme doit-il donner à son enclos ?

Nous cherchons donc un rectangle d’aire $A$ maximale pour un périmètre $P$ donné.

Notons $a$ et $b$ la longueur et la largeur d’un rectangle de périmètre $P = 400$ . Son aire est donc $A = ab$ et son périmètre est $P = 2(a + b)$ .

En utilisant l’inégalité arithmético-géométrique et le fait que $a + b = \frac{P}{2}$ , on a :

En remplaçant $P$ par $400$ , on a finalement que :

Or, on a vu que cette inégalité est une égalité si et seulement si $a = b$ . Donc l’aire maximale est atteinte lorsque $a=b$ , c’est-à-dire pour un carré, d’aire 10000.

Notre berger doit donc construire un enclos carré de 100m de côté.

Somme des entiers impairs – DSM#7

1 novembre 2023Mathématiques, Vidéosanimation, démo sans mots, youtubeCoin des Maths

La vidéo : Somme des entiers impairs

Pour ce septième épisode de « Démo sans mots« , je vous propose une démonstration similaire à celle du premier épisode. En effet, nous allons parler de la somme des entiers impairs de 1 à $n$ .

Cette démonstration provient du livre Proof without words de Roger B. Nelsen, à la page 71.

Comme dans le premier épisode, la démonstration présentée dans la vidéo n’est qu’un exemple, celle du cas $n=6$ . Mais les autres cas fonctionnent de la même manière.

EDIT : Plus de rigueur

Suite à un commentaire sous la vidéo, je vais développer avec rigueur la démonstration qui y est présentée.

Cette démonstration est en fait une démonstration par récurrence, où chaque nombre impair est ajouté un à un. Nous allons donc démontrer que $P(n)$ : $1 + 3 + 5 + \ldots + (2n - 1) = n^2$ est vraie pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 1.

Initialisation : $P(1)$ : $1 = 1^2$ , je pense que cela se passe de justification.

Hérédité : Supposons que $P(n)$ est vrai, c’est-à-dire que $1 + 3 + 5 + \ldots + (2n - 1) = n^2$ . L’objectif est de montrer $P(n+1)$ : $1 + 3 + 5 + \ldots + (2n + 1) = (n +1)^2$ .

En utilisant l’identité remarquable $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ , ce résultat se trouve facilement :

Visuellement, cela se représente par la colonne qui se « replie » sur le carré précédent. Il y a alors $n$ cases à droite du carré, $n$ cases au-dessus du carré, et une dernière case dans l’angle, soit un total de $2n+1$ cases pour former un carré plus grand.

Conclusion : Pour tout $n$ supérieur ou égal à 1, on a $1 + 3 + 5 + \ldots + (2n - 1) = n^2$ .

En partant de ce que l’on sait

Dans le premier épisode, nous avons démontré le résultat suivant :

Nous pouvons utiliser cette première égalité afin de démontrer notre nouvelle formule d’une manière différente de celle de la vidéo.

En effet, commençons par réécrire notre somme. Pour cela, nous allons écrire chaque nombre impair sous la forme $2k-1$ , avec $k$ un entier. Voici ce qu’on obtient :

Cette somme, peu évidente au premier abord, sera plus simple à calculer en réorganisant ses termes. Nous allons regrouper les termes de la forme $2k$ d’un côté et les $-1$ de l’autre.

Désormais, nous pouvons non seulement factoriser la première parenthèse par 2, mais également calculer le dernier terme.

On retrouve finalement la somme des $n$ premiers entiers, que nous pouvons remplacer par notre égalité déjà démontrée.

On a donc bien retrouvé le résultat de la vidéo. Notons que cette dernière égalité peut elle aussi se retrouver visuellement.

Galilée et la chute des corps

Dans l’Italie de la Renaissance, Galilée, célèbre physicien, astronome et mathématicien, s’intéresse à la chute des corps. En 1638, il publie son dernier ouvrage, intitulé Discours et démonstrations mathématiques concernant deux sciences nouvelles. Ce livre, véritable testament scientifique, regroupe les fruits de trois décennies de recherches en physique.

Dans ce livre, Galilée expose sa conviction : la chute des corps se fait selon un mouvement uniformément accéléré. C’est-à-dire que la vitesse augmente de manière proportionnelle au temps. C’est la première fois que ce type de mouvement est décrit aussi rigoureusement.

Plan incliné exposé au Musée Galilée (Florence) et construit au XIXe siècle. Même si aucun document ne l’atteste, Galilée aurait pu utiliser un outil similaire.

Ces définitions mathématiques permettent alors à Galilée de démontrer les propriétés du mouvement dans ce qu’on appellera plus tard la mécanique classique. Il en ressort une propriété qui nous rapproche de notre sujet du jour.

Les distances parcourues, pendant des intervalles de temps égaux, par un corps tombant à partir du repos, sont les unes par rapport aux autres dans le même rapport que les nombres impairs, en commençant par l’unité.
Galilée, Discours et démonstrations mathématiques concernant deux sciences nouvelles [190], 1638

Reformulons. Imaginons un objet qui tombe, quel qu’il soit. Lors de la première seconde, cet objet parcourt une certaine distance. Par la suite, il parcourra trois fois cette distance pendant la deuxième seconde, puis cinq fois cette distance pendant la troisième seconde, et ainsi de suite. En notant $d$ la distance parcourue la première seconde, les distances suivantes sont donc $3 \times d$ , $5 \times d$ , $7 \times d$ , etc… On retrouve notre somme des entiers impairs.

Ainsi, si nous cherchons à calculer la distance totale parcourue, il faut additionner toutes ces distances. Au bout de $n$ secondes, notre objet aura parcouru une distance égale à :

On peut en conclure, comme Galilée, que la distance parcourue en chute libre est proportionnelle au carré de la durée du trajet.

Pour plus de détails, je vous renvoie vers cet article publié sur Zeste de savoir.

Encadrement de π – DSM#6

18 octobre 2023Mathématiques, Vidéosanimation, démo sans mots, youtubeCoin des Maths

La vidéo : Encadrement de π

Pour cet épisode de « Démo Sans Mots« , nous allons nous pencher sur un nombre aussi connu que mystérieux : trouvons un encadrement de π.

Cette démonstration est inspirée des travaux d’Archimède, datant d’environ 250 avant J.-C.

Avec plus de côtés

Pour trouver cet encadrement de $\pi$ , nous avons utilisé un hexagone inscrit et un carré circonscrit. Pour plus de précision, on peut tout simplement utiliser des polygones réguliers avec plus de côtés. C’est ce que nous allons détailler.

Calculons les longueurs des côtés de ses polygones. Nous allons juste avoir besoin d’un peu de trigonométrie dans les triangles rectangles. Pour rappel, nous avons les relations CAH-SOH-TOA :

En réalité, nous n’aurons besoin que des deux dernières relations. Cela nous permet de calculer la moitié d’un coté de nos polygones, comme illustré ci-dessous. Ici, nous utiliserons des polygones ayant $n$ côtés.

On peut ainsi calculer le périmètre des deux polygones en multipliant ces longueurs par $2n$ . Le périmètre du polygone inscrit est donc de $2n \sin\left(\frac{\pi}{n}\right)$ et celui du polygone circonscrit est de $2n \tan\left(\frac{\pi}{n}\right)$ . Il ne nous reste plus qu’à encadrer le périmètre du cercle par ces deux valeurs.

Choisissez la valeur de $n$ que vous voulez et vous aurez donc un encadrement de $\pi$ . On peut même constater en plaçant ces encadrements dans un repère qu’ils deviennent de plus en plus précis. Cette méthode permet ainsi de trouver des approximations de $\pi$ pour de grandes valeurs de $n$ .

Cette méthode fut plus ou moins celle utilisée par Archimède. Il a réussi, grâce à un polygone à 96 côtés, à déterminer que $\frac{223}{71} < \pi < \frac{22}{7}$ .

Méthode de Monté-Carlo

D’autres méthodes classiques permettant de trouver des approximations de $\pi$ sont celle de Monté-Carlo. Ces méthodes tiennent leur nom du quartier de Monaco où se trouve un célèbre casino. Et pourquoi ça ? Eh bien parce que ces méthodes reposent sur des tirages aléatoires.

En effet, on peut partir par example d’un cercle de rayon 1 inscrit dans un carré. Si on choisit au hasard un point dans ce carré, quelle serait la probabilité $P$ qu’il soit dans le cercle ? En raisonnant avec les aires, voici ce qu’on obtient :

Ainsi, si nous faisons un grand nombre de tirages, le quotient du nombre de points dans le cercle par rapport au nombre de points au total devrait se rapprocher de $\frac{\pi}{4}$ . En multipliant cette valeur par 4, nous aurons une approximation de $\pi$ .

Lançons maintenant cette simulation numérique.

Et nous obtenons bien une approximation de $\pi$ !

Notons cependant que les méthodes que nous venons de voir ont besoin de beaucoup d’étapes avant de nous donner quelques décimales. Beaucoup d’autres méthodes existent aujourd’hui, et peuvent nous donner plusieurs décimales et quelques étapes, mais ce sera pour de prochaines fois…

Série géométrique – DSM#5

4 octobre 2023Mathématiques, Vidéosanimation, démo sans mots, youtubeCoin des Maths

La vidéo : Série géométrique

Dans ce volet de « Démo Sans Mots« , nous parlerons de série géométrique. Cet article sera plus technique que les précédents.

Cette démonstration de Benjamin Klein et Irl Bivens a été publiée dans le Mathematics Magazine, (Vol. 61, No. 4, p. 219) en octobre 1988.

Somme de termes d’une suite géométrique

Avant d’attaquer pleinement le sujet, penchons-nous d’abord sur quelques préliminaires.

Pour ceux qui ne le savent pas, le mot « géométrique » utilisé ici ne veut pas dire que l’on utilise des cercles ou des rectangles. Il veut plutôt dire qu’on utilise des nombres obtenus les uns après les autres en multipliant par un même nombre $q$ , appelée raison. Cette suite de nombres est ainsi appelée suite géométrique.

Ce que l’on fait dans cette vidéo, c’est calculer la somme de tous ses nombres, jusqu’à l’infini. Mais commençons doucement en en prenant qu’un nombre fini. Disons $n$ . Et notons $S_n$ la somme de ces $n$ termes.

Écrivons maintenant cette addition en entier, puis écrivons cette même addition en multipliant tous ses termes par $q$ .

Ce jeu d’écriture nous permet de facilement calculer $S_n - qS_n$ comme ci-dessus. On obtient ainsi que $(1 - q) S_n = 1 - q^{n+1}$ , c’est-à-dire que $S_n = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$ .

Des arguments sous-entendus

Nous avons maintenant tous les outils nécessaires pour justifier rigoureusement certains arguments qui sont sous-entendus dans cette démonstration visuelle : la convergence de la série, l’alignement des points et l’origine de la formule.

Convergence de la série

Avant de chercher à calculer notre somme, il faut d’abord savoir si elle existe. En effet, il n’est pas évident que la somme d’une infinité de termes soit un nombre fini, et ce n’est d’ailleurs pas le cas en général.

En fait, dans notre cas, il nous suffit de partir du cas vu dans la partie précédente avec un nombre fini de termes, puis de regarder ce qui se passe en en prenant de plus en plus. Dans notre cas, puisque $0<q<1$ , on a que $q^n$ tend vers 0, donc la suite des $S_n$ est bien convergente de limite

Nous venons ainsi de démontrer notre résultat, mais il nous reste encore un peu de travail pour justifier la démonstration visuelle. Nous noterons $S = \sum_{n=0}^\infty q^n$ cette limite dans la suite. On parle de plus de série géométrique.

Alignement des points

Pour ce deuxième point, nous allons avoir besoin de nommer les points de la figure. Je vous propose les notations ci-dessous.

Notre objectif est de montrer que les points $C$ , $B_0$ , $B_1$ , $B_2$ , … sont alignés. Plus exactement, nous allons montrer que pour n’importe quelle valeur d’un entier $i$ , les points $B_0$ , $B_i$ et $C$ sont alignés. Pour cela, nous allons montrer que les triangles $A_0 B_0 C$ et $A_i B_i C$ sont semblables.

Commençons par un calcul intermédiaire, avec la longueur $A_i C$ .

Nous pouvons maintenant montrer que les rapports $\frac{A_i B_i}{A_0 B_0}$ et $\frac{A_i C}{A_0 C}$ sont égaux.

Finalement, on a $\frac{A_i B_i}{A_0 B_0} = \frac{A_i C}{A_0 C}$ et les triangles $A_0 B_0 C$ et $A_i B_i C$ sont rectangles respectivement en $A_0$ et en $A_i$ . Ces triangles sont donc semblables, donc les angles $\widehat{A_0 C B_0}$ et $\widehat{A_i C B_i}$ sont égaux, et les points $B_0$ , $B_i$ et $C$ sont alignés.

Origine de la formule

La seule chose qu’il nous reste à faire, c’est d’expliquer d’où vient la formule maintenant qu’on a la figure. Et il suffit de remarquer que les triangles $D B_0 B_1$ et $A_0 C B_0$ sont semblables. Ils ont donc des côtés qui ont des longueurs proportionnelles.

Théorème de Pythagore – DSM#4

20 septembre 2023Mathématiques, Vidéosanimation, démo sans mots, youtubeCoin des Maths

La vidéo : Théorème de Pythagore

Cette fois dans « Démo Sans Mots« , nous allons aborder le célèbre théorème de Pythagore.

J’ai trouvé cette démonstration dans le livre Proof without words I de Roger B. Nelsen, à la page 1. Cependant, comme le dit l’auteur, cette preuve est elle-même adaptée du Zhoubi Suanjing, textes chinois écrits vers 200 avant J.-C.

Autour des racines carrées

Dans la Grèce antique, les pythagoriciens croyaient que toutes les longueurs pouvaient être exprimées comme des fractions, c’est-à-dire comme rapports entre deux nombres entiers. Cependant, lorsqu’ils tentèrent de calculer la diagonale d’un carré de côté 1 en utilisant le théorème de Pythagore, ils firent une découverte surprenante : la longueur de cette diagonale est égale à la racine carrée de 2, un nombre irrationnel. Cette révélation choqua les mathématiciens pythagoriciens, remettant en question leur vision du monde où les nombres rationnels régnaient en maîtres. Depuis, les racines carrées irrationnelles ont été acceptées par l’ensemble des mathématiciens.

En 1941, un certain Jakob Heinrich Anderhub a eu l’idée de créer une sorte spirale en utilisant 16 triangles rectangles. Ces triangles permettent d’obtenir les racines des nombres de 2 à 17. Depuis lors, on appelle cette création la « spirale de Théodore », bien qu’on ne soit pas certain que Théodore de Cyrène ait utilisé cette méthode.

Histoire du théorème

Le théorème de Pythagore constitue l’une des pierres angulaires des mathématiques. En effet, on peut trouver des traces de ce théorème chez plusieurs civilisations, et ce bien avant les Grecs.

Babyloniens

Les Babyloniens, dès le 2^e millénaire avant notre ère, ont laissé des preuves de leur utilisation du théorème de Pythagore. Ils semblent avoir découvert une méthode afin de calculs de longueurs dans des triangles rectangles.

Sur la tablette Plimpton 322, datant d’environ 1800 avant J.-C., se trouve une liste de nombre. Les nombres des colonnes 2 et 3 font partie de triplets pythagoriciens. Par exemple, sur la ligne 11, on trouve les nombres 45 et 75. Or :

Ce triplet est donc complété par 60. Cela démontre ainsi une connaissance pratique des relations entre ces mesures dans un triangle rectangle.

Image de Plimpton 322, tablette d'argile babylonienne listant des triplets pythagoriciens. — Tablette Plimpton 322

Photo commentée de la tablette YBC-7289. Cette tablette montre une approximation de racine de 2 (1 24 51 10 en sexagesimal) en utilisant le théorème de Pythagore dans un triangle isocèle. — Tablette YBC-7289

Égypte

En Égypte ancienne, bien qu’il n’existe pas de preuve concrète du théorème de Pythagore, nous pouvons trouver des indices de la compréhension des triangles rectangles par les égyptiens. En effet, les géomètres arpenteurs égyptiens avaient l’habitude d’utiliser une corde à 13 nœuds pour délimiter les parcelles agricoles à chaque crue du Nil. Celle-ci permet de former un triangle dont les côtés ont pour longueurs 3, 4 et 5 nœuds, comme illustré ci-dessous. Selon la réciproque du théorème de Pythagore, ce triangle est rectangle car $3^2 + 4^2 = 5^2$ . Les arpenteurs pouvaient ainsi tracer des parcelles rectangulaires.

Illustration montrant l'utilisation d'une corde à 13 nœuds pour la création d'un triangle rectangle. Ses côtés ont pour longueur 3, 4 et 5 nœuds. — Corde à 13 nœuds

Illustration provenant du livre Zhoubi Suanjing. Il s'agit d'une démonstration visuelle du théorème de Pythagore. — Démonstration du théorème de Pythagore dans le Zhoubi Suanjing

Chine

En Chine, le théorème de Pythagore, connu sous le théorème de Gougu (« gou » voulant dire « base » et « gu » signifiant « hauteur ») a également été exploré dans des textes anciens tels que le Zhoubi Suanjing (ou « Classique mathématique du Gnomon des Zhou »). Datant au plus tard d’environ 200 av. J.-C., ce texte chinois montre que les mathématiciens chinois avaient une compréhension avancée des propriétés des triangles rectangles. Bien que leur approche diffère de celle des Grecs, les Chinois ont également découvert des triplets pythagoriciens et ont appliqué leurs connaissances géométriques à divers domaines, y compris l’astronomie et l’ingénierie.

Son importance en mathématiques a fait du théorème de Pythagore le théorème ayant le plus de démonstrations, dont près de 370 sont recensées par Elisha Scott Loomis dans The Pythagorean Proposition. Ce dernier précise que le nombre de preuves est sans limite, et que les démonstrations n’utilisant que de la trigonométrie étaient impossibles. Or, le 18 mars 2023, Ne’Kiya Jackson et Calcea Johnson, deux étudiantes américaines, ont mis au point une telle démonstration. L’histoire de ce théorème n’est donc pas encore terminée.