La vidéo : Somme des angles d’un triangle

Dans ce nouvel épisode de « Démo Sans Mots« , nous allons nous intéresser à la somme des angles d’un triangle.

Cette démonstration est inspirée de celle présente dans les Éléments d’Euclide (Livre I, Proposition XXXII).

Plus de précisions

Cette propriété des triangles bien connue des collégiens repose sur deux propriétés vues en cinquième : les angles correspondants et les angles opposés par le sommet. En effet, ces propriétés sont représentées par le glissement des angles et des segments. Notons de plus que ces deux propriétés sont également démontrées par Euclide dans ses Éléments, respectivement en tant que Propositions XV et XXIX.

Dans la figure ci-dessus, les deux droites horizontales sont parallèles entre elles.

Commençons par montrer que les angles rouges et bleus sont les mêmes. On remarque en effet que les droites horizontales sont parallèles et que ces angles sont correspondants. On peut ainsi en déduire la relation . De la même manière, il vient que .

Pour les angles verts maintenant, il suffit de constater que ces angles sont opposés par le sommet. On a donc cette fois la relation .

Enfin, remarquons que nos trois angles , et forment bien un angle plat. On a donc finalement que .

En fait, c’est (parfois) faux

Il y aurait un problème dans notre raisonnement ? Eh bien non ! Notre raisonnement est bon. Néanmoins, dans notre démonstration, nous avons fait une hypothèse à la fois simple et très forte : nous avons utilisé la géométrie euclidienne. Cela signifie tout simplement que nous avons considéré des triangles dans le plan.

En effet, si on regarde des triangles ailleurs que dans un plan, on peut trouver des triangles dont la somme des angles est supérieure à 180°. Si on se place sur une sphère, on peut même trouver des triangles avec trois angles droits, comme dans l’illustration ci-dessous.

On peut également trouver des triangles dont la somme des angles est inférieure à 180° en géométrie hyperbolique.

Bref, il faut toujours faire attention à ce que l’on sait avec d’en tirer des conclusions.

La vidéo : Théorème de Viviani

Aujourd’hui dans « Démo Sans Mots« , nous allons voir un théorème que je trouve très élégant et trop peu connu. Il s’agit du théorème de Viviani.

Cette démonstration vient du livre Proof without words III de Roger B. Nelsen, à la page 21.

Une démonstration algébrique

Pour une autre démonstration de ce joli théorème, nous allons utiliser la figure suivante, où le triangle est équilatéral.

Il ne reste maintenant qu’une chose à remarquer. L’aire du triangle est tout simplement la somme des aires des triangles , et .

Puisque le triangle est équilatéral, on peut remplacer et par dans cette expression.

En simplifiant chaque membre de cette égalité par , on obtient finalement que . C’est bien le résultat attendu.

Diagrammes ternaires

Les diagrammes ternaires sont des outils visuels utilisés notamment en chimie et en science des matériaux. En effet, ils permettent de représenter la composition et les proportions relatives de trois composants dans un système. Il s’agit en fait d’un triangle équilatéral dont chaque sommet représente un composant. Des lignes à l’intérieur du triangle peuvent délimiter différentes phases ou régions de compositions possibles.

Les diagrammes ternaires sont essentiels pour comprendre les mélanges complexes et les équilibres de phases. Ils permettent par exemple aux chercheurs d’analyser et de prédire les comportements des systèmes à plusieurs composants de manière concise et visuelle.

La vidéo : Somme des entiers

Pour ce premier épisode de « Démo sans mots« , je vous propose une démonstration assez classique. En effet, nous allons parler de la somme des entiers de 1 à .

Cette démonstration provient du livre Proof without words de Roger B. Nelsen, à la page 69.

Je tiens tout de même à préciser que ceci n’est en réalité pas une démonstration du cas général, mais simplement l’exemple du cas . Mais bien sûr tous les autres cas fonctionnent de la même manière.

Une autre démonstration

Si on veut une démonstration algébrique de cette propriété, on peut s’inspirer de celle de Gauss. En effet, notre ami a fait preuve de brillance dès son jeune âge grâce à elle.

Selon la légende, lorsqu’il était à l’école primaire, il a été sanctionné par son enseignant pour mauvaise conduite. On lui a alors donné comme exercice d’additionner les nombres de 1 à 100. Étonnamment, il a réussi à calculer rapidement cette somme, qui s’élève à 5050.

Pour faire cette démonstration, je vais commencer par écrire la somme des entiers, notée , dans un sens et dans l’autre :

Cela nous permet de regrouper les termes deux par deux. Grâce à ce jeu d’écriture, chaque terme se retrouve en face d’un autre. De plus, chaque paire de termes a pour somme . En additionnant ces deux lignes, on peut donc en déduire que , puis que . On retrouve alors bien la formule attendue.

On peut noter que ces deux démonstrations ne font en réalité qu’une. En effet, l’escalier retourné dans la vidéo correspond exactement la somme écrite en sens inverse ci-dessus.

Nombres triangulaires

Avec la représentation utilisée dans la vidéo, le lien entre la somme des entiers et les nombres triangulaires est naturel. Ainsi, nous avons trouvé une expression explicite du -ième nombre triangulaire.

De la même manière, on peut démontrer par exemple que deux nombres triangulaires successifs donnent un nombre carré si on les additionne. Beaucoup d’autres démonstrations de ce type existent, et feront peut-être l’objet de futures vidéos.

Aujourd’hui, j’ai le plaisir de vous annoncer le lancement d’une série de vidéos mathématiques passionnantes intitulée « Démo sans mots« . L’objectif est de rendre les concepts mathématiques plus accessibles et de mettre en avant la beauté des mathématiques. Dans cette série, nous explorerons ainsi des théorèmes et des propriétés mathématiques en utilisant uniquement des démonstrations visuelles, sans aucun mot.

Que vous soyez étudiant, enseignant, ou simplement curieux, ces vidéos sont faites pour être accessibles au plus grand nombre. Pas besoin d’être un expert en mathématiques pour apprécier ces vidéos. Ainsi, vous trouverez dans « Démo sans mots » des démonstrations de résultats divers, tels que le théorème de Pythagore ou que l’inégalité de Cauchy-Schwarz.

Vous pourrez retrouver ces vidéos sur ma chaîne YouTube. Actuellement, j’ai déjà préparé dix épisodes. D’autres vidéos sont également en préparation et sortiront par la suite. Une vidéo sortira toutes les deux semaines, les mercredis à 16 heures.

Mais ce n’est pas tout ! En complément de chaque vidéo, je publierai un article détaillé sur ce blog. Dans ces articles, vous trouverez des explications approfondies sur les démonstrations visuelles présentées dans les vidéos. Vous aurez ainsi la possibilité d’approfondir le sujet et d’explorer des pistes intéressantes et non abordées.

J’ai hâte de commencer cette aventure et de partager ma passion pour les mathématiques à travers ces démonstrations visuelles. J’espère que cette série de vidéos inspirera et émerveillera les esprits curieux, tout en contribuant à démystifier les mathématiques.

N’oubliez pas de vous abonner à ma chaîne YouTube afin de ne manquer aucun épisode de « Démo sans mots ». Le lancement de la première vidéo est prévu pour le mercredi 9 août à 16 heures. Elle portera sur la somme des entiers de 1 à . N’hésitez pas à partager ces vidéos avec vos amis, vos collègues et toutes les personnes intéressées par les mathématiques.