La vidéo : Somme des entiers
Pour ce premier épisode de « Démo sans mots« , je vous propose une démonstration assez classique. En effet, nous allons parler de la somme des entiers de 1 à 
.
Cette démonstration provient du livre Proof without words de Roger B. Nelsen, à la page 69.
Je tiens tout de même à préciser que ceci n’est en réalité pas une démonstration du cas général, mais simplement l’exemple du cas 
. Mais bien sûr tous les autres cas fonctionnent de la même manière.
Une autre démonstration
Si on veut une démonstration algébrique de cette propriété, on peut s’inspirer de celle de Gauss. En effet, notre ami a fait preuve de brillance dès son jeune âge grâce à elle.
Selon la légende, lorsqu’il était à l’école primaire, il a été sanctionné par son enseignant pour mauvaise conduite. On lui a alors donné comme exercice d’additionner les nombres de 1 à 100. Étonnamment, il a réussi à calculer rapidement cette somme, qui s’élève à 5050.
Pour faire cette démonstration, je vais commencer par écrire la somme des entiers, notée 
, dans un sens et dans l’autre :
![\begin{equation*} \footnotesize \setlength{\arraycolsep}{2.5pt} \begin{array}{*{16}{c}} S &=& \textcolor{teal}{1} &+& \textcolor{olive}{2} &+& \textcolor{purple}{3} &+& \ldots &+& \textcolor{purple}{(n-2)} &+& \textcolor{olive}{(n-1)} &+& \textcolor{teal}{n} \\ S &=& \textcolor{teal}{n} &+& \textcolor{olive}{(n-1)} &+& \textcolor{purple}{(n-2)} &+& \ldots &+& \textcolor{purple}{3} &+& \textcolor{olive}{2} &+& \textcolor{teal}{1} \\\hline 2S &=& \textcolor{teal}{(n+1)} &+& \textcolor{olive}{(n+1)} &+& \textcolor{purple}{(n+1)} &+& \ldots &+& \textcolor{purple}{(n+1)} &+& \textcolor{olive}{(n+1)} &+& \textcolor{teal}{(n+1)} \\ \multicolumn{2}{c}{} & \multicolumn{14}{c}{\raisebox{.5\normalbaselineskip}[0pt][0pt]{$\underbrace{\hspace*{31.2em}}$}} \\ \multicolumn{2}{c}{} & \multicolumn{14}{c}{n \text{ fois}} \\ \end{array} \end{equation*}](https://coindesmaths.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fd55e31c58af544a312c766cd742b2ac_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Cela nous permet de regrouper les termes deux par deux. Grâce à ce jeu d’écriture, chaque terme se retrouve en face d’un autre. De plus, chaque paire de termes a pour somme 
. En additionnant ces deux lignes, on peut donc en déduire que 
, puis que 
. On retrouve alors bien la formule attendue.
On peut noter que ces deux démonstrations ne font en réalité qu’une. En effet, l’escalier retourné dans la vidéo correspond exactement la somme écrite en sens inverse ci-dessus.
Nombres triangulaires
Avec la représentation utilisée dans la vidéo, le lien entre la somme des entiers et les nombres triangulaires est naturel. Ainsi, nous avons trouvé une expression explicite du -ième nombre triangulaire.
De la même manière, on peut démontrer par exemple que deux nombres triangulaires successifs donnent un nombre carré si on les additionne. Beaucoup d’autres démonstrations de ce type existent, et feront peut-être l’objet de futures vidéos.