Schéma d'une planche de Galton. À chaque fois qu’une bille tombe à la droite d’un clou, elle franchit l’une des lignes en pointillés bleus sans pouvoir revenir en arrière. Cela permet ainsi de compter le nombre de fois qu’elle rebondit à droite. Cela équivaut à trouver dans quel compartiment elle finit sa course.

Planche de Galton

Mathématiques,

Présentation générale

Francis Galton (1822-1911), issu d’une famille de scientifiques et cousin de Charles Darwin, s’est intéressé à l’hérédité des capacités intellectuelles pour améliorer l’espèce humaine. Son expertise couvrait la géographie, la météorologie et l’anthropologie en plus de ses contributions pionnières aux statistiques à des fins pratiques.

La planche de Galton, aussi appelée « Quincunx » ou « machine de Galton », est un dispositif conçu par Francis Galton. Elle comporte une série de clous disposés en quinconce, au travers desquels tombent des billes déviant aléatoirement à gauche ou à droite. En bas, les billes s’accumulent dans des compartiments.

Photo d'une planche de Galton

Chaque compartiment a-t-il la même chance de recevoir la bille ?

Essayons de calculer la probabilité qu’un compartiment donné reçoive une bille. Supposons que la planche de Galton présente n rangées de clous.

Chaque fois qu’une bille tape un clou, elle a une chance sur deux de tomber à sa gauche et une chance sur deux de tomber à sa droite. Ainsi, chaque changement de direction a autant de chance de se produire, et toutes les trajectoires possibles sont équiprobables. La probabilité que la bille finisse sa course dans un compartiment donné est donc :

      \[p = \frac{\text{Nombre de trajectoires allant dans le compartiment}}{\text{Nombre de trajectoires au total}}\]

Il nous faut donc dénombrer le nombre de trajectoire au total ainsi que le nombre de trajectoires allant dans un compartiment spécifique.

Calcul du dénominateur

Commençons par le dénominateur. Chaque clou crée une bifurcation dans la trajectoire de la bille. Cela permet alors de doubler le nombre de trajectoires possibles. Il y en a donc 2 après la première rangée de clous, 4 après la seconde, puis 8, puis 16… Après n rangées, il y en a donc 2^n trajectoires possibles au total.

Rendered by QuickLaTeX.com
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Calcul du numérateur

Passons au numérateur. On cherche maintenant à compter le nombre de chemins permettant à une bille d’aller dans un compartiment donné. Cela revient en réalité à compter le nombre de fois que cette bille doit rebondir à la droite d’un clou. En effet, cela peut être mis en avant grâce au schéma ci-contre.

À chaque fois qu’une bille tombe à la droite d’un clou, elle franchit l’une des lignes en pointillés bleus sans pouvoir revenir en arrière. Cela permet ainsi de compter le nombre de fois qu’elle rebondit à droite. Par exemple, pour aller dans le compartiment n°2, elle doit aller 2 fois à droite.

Ainsi, pour atteindre la k-ième compartiment en partant de la gauche, la bille doit rebondir k fois à droite parmi les n rebonds au total. Or, c’est exactement la définition des coefficients binomiaux \binom{n}{k}. Il y a donc \binom{n}{k} chemins permettant à une bille de se retrouver dans le k-ième compartiment après n rangées de clous.

Conclusion

Finalement, la probabilité que la bille finisse sa course dans le k-ième compartiment après n rangées de clous est :

      \[\displaystyle p = \frac{1}{2^n} \binom{n}{k} = \frac{n!}{2^n k! (n-k)!}\]

Voici les différentes valeurs de p que l’on obtient pour n allant de 0 à 5 et pour toutes les valeurs de k correspondantes :

n=0:1
n=1:\frac{1}{2}\frac{1}{2}
n=2:\frac{1}{4}\frac{1}{2}\frac{1}{4}
n=3:\frac{1}{8}\frac{3}{8}\frac{3}{8}\frac{1}{8}
n=4:\frac{1}{16}\frac{1}{4}\frac{3}{8}\frac{1}{4}\frac{1}{16}
n=5:\frac{1}{32}\frac{5}{32}\frac{5}{16}\frac{5}{16}\frac{5}{32}\frac{1}{32}
Valeurs de p pour n allant de 0 à 5

Animation

Ci-dessous une animation de la planche de Galton réalisée avec Desmos. Le curseur permet de contrôler la vitesse de l’animation. Une version plus complète est disponible ici.

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