Miniature de la vidéo numéro 8 de la série Démo Sans Mots, qui porte sur l'inégalité de Cauchy-Schwarz.

Inégalité de Cauchy-Schwarz – DSM#10

Mathématiques, Vidéos, ,

La vidéo : Inégalité de Cauchy-Schwarz

Dans cet article de « Démo sans mots« , une célèbre inégalité : l’inégalité de Cauchy-Schwarz.

Cette démonstration provient du livre Proof without words III de Roger B. Nelsen, à la page 98.

Plus de précision

Aire du parallélogramme

Dans cette vidéo, j’ai calculé l’aire du parallélogramme en utilisant une formule peu courante. Je vais détailler ci-dessous d’où elle vient.

On retient habituellement que l’aire d’un parallélogramme se calcule en multipliant sa base et sa hauteur. Dans la figure ci-dessous, on trouve alors AB \times DH.

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Or, en utilisant les relations CAH-SOH-TOA dans le triangle rectangle HDA, on a que DH = AD \times \sin\theta. L’aire du parallélogramme ABCD est donc :

      \[A_{ABCD} = \text{base} \times \text{hauteur} = AB \times DH = AB \times AD \times \sin\theta\]

On peut alors calculer l’aire du parallélogramme de la vidéo, sans oublier le théorème de Pythagore pour calculer les longueurs de ses côtés.

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Avec des vecteurs

Pour rappel, la vidéo démontre l’inégalité suivante :

      \[|ax + by| \leqslant \sqrt{a^2 + b^2} \times \sqrt{x^2 + y^2}\]

Cependant, elle se termine en mettant en avant une autre inégalité :

      \[\left| \left\langle \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \right\rangle \right| \leqslant \left\lVert \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \right\rVert \times \left\lVert \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \right\rVert\]

En effet, si on note \left\langle u,v \right\rangle le produit scalaire des vecteurs u et v et \left\lVert u \right\rVert la norme induite d’un vecteur u, leurs expressions utilisant les coordonnées des vecteurs nous redonnent la première inégalité. L’inégalité de Cauchy-Schwarz s’exprime ainsi plus simplement :

      \[\left| \left\langle u , v \right\rangle \right| \leqslant \left\lVert u \right\rVert \left\lVert v \right\rVert\]

Le produit scalaire de deux vecteurs est inférieur au produit de leurs normes. C’est surtout sous cette forme que l’inégalité de Cauchy-Schwarz est connue.

Pour aller plus loin, je rajouterai que cette propriété est assez générale puisqu’elle est vraie dans les espaces préhilbertiens réels (et complexes). En particulier, elle est vraie dans \mathbb{R}^n, quelle que soit la dimension n. La vidéo montre le cas de \mathbb{R}^2.

Une démonstration classique mais élégante

La démonstration que je vais vous présenter maintenant est la démonstration classique de l’inégalité de Cauchy-Schwarz. Cependant, je trouve cette démonstration assez élégante, c’est pourquoi j’en parle aujourd’hui.

Pour rappel, nous allons montrer que pour deux vecteurs u et v, on a :

      \[\left| \left\langle u , v \right\rangle \right| \leqslant \left\lVert u \right\rVert \left\lVert v \right\rVert\]

Pour cette démonstration, il faut considérer la fonction suivante :

      \[\begin{array}{r|ccc}     f :    &   \mathbb{R}  &   \longrightarrow &   \mathbb{R}             \\            &   \lambda     &   \longmapsto     &   \left\lVert u + \lambda v \right\rVert^2 \end{array}\]

Par définition, cette fonction f est positive. De plus, si nous développons la norme, on a :

      \[f(\lambda) = \left\lVert u + \lambda v \right\rVert^2 = \left\lVert u \right\rVert^2 + 2 \left\langle u , v \right\rangle \lambda + \left\lVert v \right\rVert^2 \lambda^2\]

Si v = 0, l’inégalité de Cauchy-Schwarz est vraie pour tout vecteur u.

Dans le cas contraire, si v \neq 0, la fonction f est un polynôme de degré 2. De plus, comme cette fonction est positive, son discriminant \Delta est négatif. Alors :

      \[\renewcommand*{\arraystretch}{1.5} \begin{array}{rcl}     \Delta \leqslant 0 &\Rightarrow& \left(2 \left\langle u , v \right\rangle\right)^2 + 4 \times \left\lVert u \right\rVert^2 \times \left\lVert v \right\rVert^2 \leqslant 0 \\                        &\Rightarrow& 4 \left\langle u , v \right\rangle^2 - 4 \left\lVert u \right\rVert^2 \left\lVert v \right\rVert^2 \leqslant 0 \\                        &\Rightarrow& \left\langle u , v \right\rangle^2 \leqslant \left\lVert u \right\rVert^2 \left\lVert v \right\rVert^2 \\                        &\Rightarrow& \sqrt{\left\langle u , v \right\rangle^2} \leqslant \sqrt{\left\lVert u \right\rVert^2} \sqrt{\left\lVert v \right\rVert^2} \\                        &\Rightarrow& \left| \left\langle u , v \right\rangle \right| \leqslant \left\lVert u \right\rVert \left\lVert v \right\rVert \\ \end{array}\]

Notons également que cette inégalité est une égalité si, et seulement si, \Delta = 0. Cela est équivalent à l’existence de \lambda \in \mathbb{R} tel que f(\lambda)=\left\lVert u + \lambda v \right\rVert^2=0, donc à la colinéarité des vecteurs u et v.

Application géométrique

Considérons un triangle ABC, ainsi qu’un point M à l’intérieur de ce triangle. Notons P, Q et R les projetés orthogonaux de M sur AB, BC et CA respectivement.

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Question : Où placer le point M pour que la quantité \frac{AB}{PM} + \frac{BC}{QM} + \frac{CA}{RM} soit minimale ?

En utilisant les notations de la figure, cela signifie que l’on veut minimiser \frac{a}{x} + \frac{b}{y} + \frac{c}{z}. Or, on peut écrire :

      \[a = \sqrt{\frac{a}{x}} \sqrt{ax} \qquad b = \sqrt{\frac{b}{x}} \sqrt{bx} \qquad c = \sqrt{\frac{c}{x}} \sqrt{cx}\]

Grâce à cette forme, et en utilisant l’inégalité Cauchy-Schwarz, on a :

      \[(a + b + c)^2 = \left( \sqrt{\frac{a}{x}} \sqrt{ax} + \sqrt{\frac{b}{x}} \sqrt{bx} + \sqrt{\frac{c}{x}} \sqrt{cx} \right)^2 \leqslant \left( \dfrac{a}{x} + \dfrac{b}{y} + \dfrac{c}{z} \right) \left( ax + by + cy \right)\]

On reconnait l’expression à minimiser dans le membre de droite. Notons \mathcal{P} le périmètre du triangle ABC et \mathcal{A} son aire. On a directement que \mathcal{P} = a + b + c, que l’on retrouve dans le membre de gauche.

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Calculons maintenant l’aire \mathcal{A} de ce triangle. Pour cela, nous allons le découper en trois triangles grâce au point M, comme représenté ci-dessus. Ainsi, l’aire de ABC est égale à la somme de celles des triangles AMB, BMC, CMA.

      \[\mathcal{A} = \mathcal{A}_{AMB} + \mathcal{A}_{BMC} + \mathcal{A}_{CMA} = \frac{ax}{2} + \frac{by}{2} + \frac{cz}{2} = \frac{1}{2} (ax + by + cz)\]

On trouve ainsi que ax + by + cz = 2 \mathcal{A}. Finalement, en utilisant les expressons de \mathcal{P} et \mathcal{A} que nous venons d’établir, on a :

      \[\mathcal{P}^2 \leqslant \left( \dfrac{a}{x} + \dfrac{b}{y} + \dfrac{c}{z} \right) \times 2\mathcal{A} \qquad \Longleftrightarrow \qquad \frac{\mathcal{P}^2}{2\mathcal{A}} \leqslant \dfrac{a}{x} + \dfrac{b}{y} + \dfrac{c}{z}\]

Nous voilà donc avec une minoration de la quantité \frac{a}{x} + \frac{b}{y} + \frac{c}{z}. Mais n’oublions le cas d’égalité de l’inégalité de Cauchy-Schwarz : cette inégalité est une égalité si, et seulement si, les vecteurs \left( \sqrt{\frac{a}{x}}, \sqrt{\frac{b}{y}}, \sqrt{\frac{c}{z}} \right) et \left( \sqrt{ax}, \sqrt{by}, \sqrt{cz} \right) sont colinéaires. Cela est équivalent à l’existence d’un \lambda \in \mathbb{R} tel que :

      \[\renewcommand*{\arraystretch}{1.5} \left\lbrace\begin{array}{rcl}     \sqrt{\frac{a}{x}} &=& \lambda \sqrt{ax} \\     \sqrt{\frac{b}{y}} &=& \lambda \sqrt{by} \\     \sqrt{\frac{c}{z}} &=& \lambda \sqrt{cz} \end{array}\right. \quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{array}{rcl}     \sqrt{a} &=& \lambda \sqrt{a}x \\     \sqrt{b} &=& \lambda \sqrt{b}y \\     \sqrt{c} &=& \lambda \sqrt{c}z \end{array}\right. \quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{array}{rcl}     \frac{1}{\lambda} &=& x \\     \frac{1}{\lambda} &=& y \\     \frac{1}{\lambda} &=& z \end{array}\right.\]

On a ainsi l’égalité si, et seulement si, x=y=z. Autrement dit, la quantité \frac{a}{x} + \frac{b}{y} + \frac{c}{z} est minimale lorsque le point M est à la même distance des trois côtés du triangle, c’est-à-dire lorsque M est le centre du cercle inscrit au triangle ABC.

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